数学乐园 断桥

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    一个圆形公园由一个内接四边形的湖与四块弓形草地组成。原来连接四边形对角有两座桥,现在一座桥犹在,长40米;另一座桥已断。如果湖边的岸长如图所示,依次是25米、20米、45米和37米,那么,你是否知道那座断桥原来是多长呢?

    解答:应该是对边乘积之和除以现存桥长,即断桥原长:

    25×45+20×37=47(米)

    其理由是:圆内接四边形对边乘积之和等于对角线之乘积。

    证明如下:

    如图:边长为 a、b、c、d,对角线长 e、f。

    作∠2=∠1,分割 f为两段 f1和 f2。

    ∵△AED∽△ABC

     e d ab= ef2②

    由①、②两式相加,得

     ab+cd=e(f1+f2)=ef

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