数学乐园古老的题目

Posted 2022-01-07

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这是一个古老的题目：牧马人从 a点要回到帐篷 b，但必须先到河边饮马后才回到帐篷，问走什么样的路钱最近最快？

这个问题是提得很现实的，天色傍晚，人疲马乏，需要尽早到家。

但是，要解这个问题，还必须有一个前提：小河是笔直的，而不是一条弯曲的河流。如果小河弯弯，那么问题要增加很大的麻烦。

解的办法是众所周知的：以小河为对称轴，找到 b的对称点 b′，连接AB，与小河交河边于 c，那么，连接 aC和 cB，就是最近的路线。

要证明这条路线最近，并不难：

（1）首先，走曲线肯定不行，因为直线的距离最短，所以 aC加 cB是直线满足这条。

（2）假设河边另有一点 d，那么，连接 aD、DB和 dB′，由于 d在对称轴上，所以 dB＝DB′，新的路程为 aD＋DB＝AD＋DB′＞AB′，而 aB′＝AC＋CB所以 aD＋DB＞AC＋CB，由此征明，只有 c点，才是到达 a和 b的最近点。

这个古老的问题很简单，但是，它给予人们很重要的启示：在自然界中，光的行程往往是走的捷径。

回到这个古老的问题，我们把小河当成一块平面镜，从 a点在镜子里看到 b，沿著你目光的方向所走的路程必然是刚才求得的 aC＋CB，必然是最短的距离。

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